Fonctions numériques à deux variables

Introduction:  

De nombreuses grandeurs sont fonction de plusieurs variables: la masse des récoltes vivrières est fonction de la quantité de pluie tombée et de la quantité d'engrais utilisée; le taux d'une réaction chimique est fonction de la température et de la pression du milieu dans lequel la réaction a lieu; la force de gravitation entre deux corps est fonction de leur masse et de la distance entre eux; le taux de retombée des matières projetées au moment d'une explosion volcanique est fonction de la distance du volcan et de la durée de l'explosion. Chaque exemple cité ci-dessus comporte une fonction d'au moins deux variables

 

Modèle de production de Cobb-Douglas :

En 1928, Cobb et Douglas ont utilisé une fonction semblable pour modéliser la production de toute l'economie des États-Unis dans le premier quart du siècle. En utilisant les estimations gouvernementales de  P, la production annuelle totale entre 1899 et 1922, de K, l'investissement total en capital durant la même période et de L, la main-d'oeuvre totale, ils ont trouvé que P était bien approché par la fonction de production de Cobb-Douglas.

P=1.01L0.75 K0.25 

Cette fonction a étonnamment bien modélisé l'économie des États-Unis durant la période sur laquelle elle a été développée et durant un certain temps après.

Définition d'une fonction à deux variables

Exemple : L'aire S d'un rectangle de côtés x et y est donnée par la formule bien connue S=xy à chaque couple des valeurs de x et y correspond une valeur bien déterminée de la surface S. S est donc une fonction de deux variables.

Définition : Si à chaque couple (x,y) de valeurs de deux variables x et y, indépendantes, prises dans un certain domaine de définition D correspond  une valeur bien déterminée de la variable z, on dit que z est une fonction de deux variables indépendantes x et y définie dans  le domaine D. on désigne une fonction de deux variables par la notation z=f(x,y) ou Z= F(x,y).

Exemple  : z=sin(x2+y2)

 

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 Domaine de définition d'une fonction à deux variables

  Définition : On appelle D domaine de définition ou domaine d'existence de la fonction z=f(x,y) l'ensemble des couples (x,y) des valeurs de x et de y pour lesquelles cette fonction est définie. Le domaine d'existence d'une fonction de deux variables peut être géométriquement interprété.

 Exemple

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              Exercices d'application :                                     

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Limite d'une fonction à deux variables

Définition :  

 

Exemple :

 

                                 Comment calculer la limite d'une fonction à deux variables

Les deux limites itérées:

 

Coordonnées polaires :

 

Les Chemins:

 

Les Suites:

 

 

Continuité d'une fonction à deux variables

Définition :

 

 

Exemple :

 

Dérivées partielles du premier ordre d'une fonction à deux variables

 

 

Définition :

Exemple :

 

 

Dérivées partielles du second ordre d'une fonction à deux variables

 

 

Définition :

Exemple :

Dérivation des fonctions composées

 

 

Définition :

Exemple :

 Fonction à deux variables de classe C1, CK

 

 

Définition :

Exemple :

 

Différentiellle totale d'une fonction à deux variables, Différentiabilité d'une fonction à deux variables

 

 Définition :

Exemple :

 

 

Formule de Taylor pour une fonction à deux variables

 Définition :

Exemple :

Extrémums d'une fonction à deux variables

 Définition :

Exemple :