Intégrales Impropres

Chapitre III : Les intégrales impropres

  1. -          Intégrale impropre sur un intervalle semi-ouvert
  2. -          Propriétés des intégrales impropres
  3. -          Intégrales impropres de fonctions positives (règles de comparaison et des équivalents)
  4. -          Intégrales impropres de fonctions de signe quelconque (convergence absolue  changement de variable)

 

 

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 Introduction

On souhaite dans ce chapitre de donner un sens a des intégrales du type  \( \int_{a}^{b}f(t)dt\)  lorsque la fonction    \(f(t)\)   n’est plus définie sur l’intervalle \([a, b] \)tout entier ou lorsqu’on souhaite calculer une intégrale sur un intervalle de longueur infinie (ce qui est fréquent en physique ou en probabilités). On souhaite par exemple savoir si on peut donner un sens aux

\(\int_{0}^{1}\frac{1}{t}dt\),      \(\int_{0}^{1}\frac{1}{t^2}dt\),     \(\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{t^2}dt\)

 

 

 Définition


 Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,+\infty[\). On dit que l'intégrale  \(\int_a^{+\infty} f(t)dt\)
 converge si la limite, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), de la primitive  \(\int_a^{x} f(t)dt\)  existe et est finie. Si c'est le cas,


Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale  diverge.

 

 Définition

 

 Exemples

 

Quand on peut calculer une primitive F(x) de la fonction à intégrer. Par exemple\(F(x)=\int_a^{x} f(t)dt\) ) , l'étude de la convergence se ramène à un calcul de limite de F(x)

  Exemples 1:

 

 

 

Exemples 2: